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• SVPWM是近年來發展的一種比較新穎的控制方法，是由三相功率逆變器的六個功率開關元件組成的特定開關模式產生的脈寬調製波，能夠使輸出電流波形盡可能接近於理想的正弦波形。空間電壓向量PWM與傳統的正弦PWM不同，它是從三相輸出電壓的整體效果出發，著眼於如何使馬達獲得理想圓形磁鏈軌跡。SVPWM技術與SPWM相比較，繞組電流波形的諧波成分小，使得馬達轉矩脈動降低，旋轉磁場更逼近圓形，而且使直流母線電壓的利用率有了很大提高，且更易於實現數位化。以下將對此演算法進行詳細分析闡述。

• SVPWM 的理論基礎是平均值等效原理，即在一個開關週期內透過對基本電壓向量加以組合，使其平均值與給定電壓向量相等。在某個時刻，電壓向量旋轉到某個區域中，可由組成這個區域的兩個相鄰的非零向量和零向量在時間上的不同組合來得到。兩個向量的作用時間在一個採樣週期內分多次施加，從而控制各個電壓向量的作用時間，使電壓空間向量接近按圓軌跡旋轉，透過逆變器的不同開關狀態所產生的實際磁通去逼近理想磁通圓，並由兩者的比較結果來決定逆變器的開關狀態，從而形成PWM 波形。逆變電路如圖2-8 示。
• 設直流母線側電壓為Udc，變頻器輸出的三相電壓為UA、UB、UC，其分別加在空間上互差120°的三相平面靜止座標系上，可定義三個電壓空間向量UA(t)、UB(t)、UC(t)，它們的方向總是在各相的軸線上，而大小則隨時間按正弦規律做變化，時間相位互差120°。假設Um為相電壓有效值，f為電源頻率，則有：
• 
  （2-27）
• 其中，θ = 2πft，則三相電壓空間向量相加的合成空間向量U(t)就可以表示為：
  
  （2-28）
• 可見U(t)是旋轉的空間向量，它的振幅為相電壓峰值的1.5倍， Um為相電壓峰值，且以角頻率ω=2πf以逆時針方向勻速旋轉的空間向量，而空間向量U(t)在三相座標軸（a，b，c）上的投影就是對稱的三相正弦量。
• 
  圖2-8 逆變電路
• 由於逆變器三相橋臂共有6個開關管，為了研究各相上下橋臂不同開關組合時逆變器輸出的空間電壓向量，特定義開關函數Sx ( x = a、b、c) 為：
  
  (2-30）
• (Sa、Sb、Sc)的全部可能組合共有八個，包括6個非零向量Ul(001)、U2(010)、U3(011)、U4(100)、U5(101)、U6(110) 、和兩個零向量U0(000)、U7(111)，以下以其中一種開關組合為例分析，假設Sx ( x= a、b、c)= (100)， 此時
  
  
  （2-30）
• 解上述方程式可得：Uan=2Ud /3、UbN=-U d/3、UcN=-Ud /3。同理可計算出其它各種組合下的空間電壓向量，列表如下：
• 表2-1 開關狀態與相電壓和線電壓的對應關係
  
• 圖2-9 給出了八個基本電壓空間向量的大小和位置。
  
  圖2-9 電壓空間向量圖
• 其中非零向量的振幅(相電壓幅值)相同（模長為2Udc/3），相鄰的向量間隔為60°，而兩個零向量幅值為零，位於中心。在每一個磁區，選擇相鄰的兩個電壓向量以及零向量，並依照伏秒平衡的原則來合成每個磁區內的任意電壓向量，即：
• 
  （2-31）
• 或等效成下式：
  
  （2-32）
• 其中，Uref 為期望電壓向量；T為取樣週期；Tx、Ty、T0分別為對應兩個非零電壓向量Ux、Uy 和零電壓向量U0在一個取樣週期內的作用時間；其中U0包括了U0和U7兩個零向量。式（2-32）的意義是，向量Uref 在T時間內所產生的積分效果值和Ux、Uy、U 0 分別在時間Tx、Ty、T0內產生的積分效果相加總和值相同。
• 由於三相正弦波電壓在電壓空間向量中合成一個等效的旋轉電壓，其旋轉速度是輸入電源角頻率，等效旋轉電壓的軌跡將是如圖2-9 所示的圓形。所以要產生三相正弦波電壓，可以利用以上電壓向量合成的技術，在電壓空間向量上，將設定的電壓向量由U4(100)位置開始，每次增加一個小增量，每一個小增量設定電壓向量可以用該區中相鄰的兩個基本非零向量與零電壓向量予以合成，如此得到的設定電壓向量就等效於一個在電壓空間向量平面上平滑旋轉的電壓空間向量，從而達到電壓空間向量脈寬調製的目的。

• 三相電壓給定所合成的電壓向量旋轉角速度為ω=2πf，旋轉一週所需的時間為T =1/f ；若載波頻率為fs ，頻率比為R= fs/f。這樣將電壓旋轉平面等切割成R個小增量（表示電壓合成向量旋轉一個週期對應的時間為R個Tc,而Tc為採樣週期，時間不變，則知R越大，電壓合成向量旋轉一周的時間越長，即調變波f的頻率越低），亦即設定電壓向量每次增量的角度是：
• g = γ=2π/ R =2πf/fs=2πTs/T。
• 今假設欲合成的電壓向量Uref在第Ⅰ區中第一個增量的位置，如圖2-10所示，欲用U4、U6、U0及U7合成，用平均值等效可得：U ref *Tz =U4*T4 +U6*T6 。
• 
  圖2-10 電壓空間向量在第Ⅰ區的合成與分解
• 在兩相靜止參考座標系（α，β）中，設Uref 和U4 間的夾角為θ，由正弦定理
• 可得
  
  （2-33）
• 因為|U4|=|U6|=2/3Udc（相電壓振幅），到各向量的狀態保持時間為：
  
• 即：
  
  （2-34）
• 式中m 為SVPWM 調變係數（調變比）m:
  
• 而零電壓向量所分配的時間為：
  • T7=T0=(TS-T4-T6)/2 （2-35）
  • 或T7 =(TS-T4-T6 ) （2-36）
• 得到以U4、U6、U7 及U0 合成的Uref 的時間後，接下來就是如何產生實際的脈寬調變波形。在SVPWM 調變方案中，零向量的選擇是最具靈活性的，適當選擇零向量，可最大限度地減少開關次數，盡可能避免在負載電流較大的時刻的開關動作，最大限度地減少開關損耗。
• 一個開關週期中空間向量以分時方式發生作用，在時間上構成一個空間向量的序列，空間向量的序列組織方式有多種，依照空間向量的對稱性分類，可分為兩相開關換流與三相開關換流。下面對常用的序列做分別介紹。

• 我們以減少開關次數為目標，將基本向量作用順序的分配原則選定為：在每次開關狀態轉換時，只改變其中一相的開關狀態。並且對零向量在時間上進行了平均分配，以使產生的PWM 對稱，從而有效地降低PWM 的諧波分量。當U4(100)切換至U0(000)時，只​​要改變A相上下一對切換開關，若由U4(100)切換至U7(111)則需改變B、C相上下兩對切換開關，增加了一倍的切換損失。因此要改變電壓向量U4(100)、U2(010)、U1(001)的大小，需配合零電壓向量U0(000)，而要改變U6(110)、U3(011)、U5(101)，需配合零電壓向量U7(111)。這樣透過在不同區間內安排不同的開關切換順序，就可以獲得對稱的輸出波形，其它各扇區的開關切換順序如表2-2 所示。
• 表2-2 Uref所在的位置與開關切換順序對照序
  
• 以第Ⅰ扇區為例，其所產生的三相波調變波形在時間TS 時段如圖所示，圖中電壓向量出現的先後順序為U0、U4、U6、U7、U7、U6、U4、 U0，各電壓向量的三相波形則與表2-2 的開關表示符號相對應。再下一個TS 時段，Uref 的角度增加一個γ，利用式（2-33）可以重新計算新的T0、T4、T6 及T7 值，得到新的合成三相類似（3-4）所示的三相波形；這樣每個載波週期TS就會合成一個新的向量，隨著θ的逐漸增大，Uref 將依序進入第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ區。在電壓向量旋轉一周期後，就會產生R 個合成向量。

• 透過以上SVPWM 的法則推導分析可知要實現SVPWM訊號的即時調製，首先需要知道參考電壓向量Uref 所在的區間位置，然後利用所在磁區的相鄰兩電壓向量和適當的零向量來合成參考電壓向量。圖2-10是在靜止座標系（α，β）中所描述的電壓空間向量圖，電壓向量調變的控制指令是向量控制系統給出的向量訊號Uref，它以某一角頻率ω在空間逆時針旋轉，當旋轉到向量圖的某個60°扇區時，系統計算該區間所需的基本電壓空間向量，並以此向量所對應的狀態去驅動功率開關元件動作。當控制向量在空間旋轉360°後，逆變器就能輸出一個週期的正弦波電壓。

• 空間向量調變的第一步是判斷Uα 和Uβ決定的空間電壓向量所處的磁區（其中Uα=|Uref|cos, Uβ=|Uref|sin）。假定合成的電壓向量落在第I 扇區，可知其等價條件如下：
  0º<arctan(Uβ/Uα)<60 º °
• 以上等價條件再結合向量圖幾何關係分析，可以判斷出合成電壓向量Uref 落在第X磁區的充分必要條件,得出下表：
  
• 根據上圖，α 和β座標固定（有正方向），Uα 和U β為合成向量Uref在α 和β座標上的投影，當Uref沿逆時針旋轉時，Uref在α 和β座標上的投影的取值可能大於0，也可能小於0，依具體情況而定。

• 若進一步分析以上的條件，可看出參考電壓向量Uref 所在的磁區完全由Uβ,
  √3（Uα- Uβ）,-√3b（Uα- Uβ） 三式決定，因此令：
  
  （2-37）
• 再定義，若U1>0 ，則A=1，否則A=0； 若U 2>0 ，則B=1，否則B=0；若U3>0 ，則C=1，否則C=0。可以看出A，B，C 之間共有八種組合，但由判斷扇區的公式可知A，B，C 不會同時為1 或同時為0，所以實際的組合是六種，A，B， C 組合取不同的值對應著不同的扇區，並且是一一對應的，因此完全可以由A，B，C 的組合判斷所在的扇區。為區別六種狀態，令N=(2^2)*C+ (2^1)*B+ (2^0)*A（表示成二進位形式如N=5表示101，即C=1,B=0,A=1），則可以透過下表計算參考電壓向量Uref 所在的磁區。
• 表2-3 P 值與扇區對應關係

• 採用上述方法，只需經過簡單的加減及邏輯運算即可確定所在的扇區，對於提高系統的響應速度和進行模擬都是很有意義的。

• 在傳統SVPWM 演算法如式（2-34）中用到了空間角度及三角函數，使得直接計算基本電壓向量作用時間變得十分困難。而若充分利用Uα和Uβ就可以使計算大為簡化。以Uref 處在第Ⅰ扇區時進行分析，依圖2-10 有：（其中Uα=|Uref|cosθ,Uβ=|Uref|sinθ）
  
• 經過整理後得出：
  
  
  
  （2-37）
• 同理可求得Uref在其它扇區中各向量的作用時間，結果如表2-4所示。由此可依式2-37中的U1, U 2 ,U3判斷合成向量所在扇區，然後查表得出兩非零向量的作用時間，最後得出三相PWM波佔空比，表2- 4可以使SVPWM演算法編程簡易實作。
• 為了實現演算法對各種電壓等級適應，一般會對電壓進行標廬化處理，實際電壓
  
• 為標廬值，在定點處理其中一般為Q12格式，即標么值為1時，等於4096，假定電壓基值為
  
• Unom為系統額定電壓，一般為線電壓，這裡看出基值為相電壓的峰值。
• 以DSP的PWM模組為例，假設開關頻率為fs，DSP的時脈為fdsp，依PWM的設定要為想開關頻率為fs時，PWM週期計數器的值為NTpwm=fdsp/fs/2,則對時間轉換為計數值進行如下推導：
• 
• 其中U'α和U'β為實際值的標廬值，令發波係數，Ksvpwm=
  
• 同理可以得到
• 表2-4 各扇區基本空間向量的作用時間
  
• 
  （2-38）
• 由公式（2-38）可知，當兩個零電壓向量作用時間為0時，一個PWM週期內非零電壓向量的作用時間最長，此時的合成空間電壓向量振幅最大，由圖2- 12可知其振幅最大不會超過圖中所示的正六邊形邊界。而當合成向量落在該邊界之外時，將發生過調製，逆變器輸出電壓波形將會發生失真。在SVPWM調變模式下，變頻器能夠輸出的最大不失真圓形旋轉電壓向量為下圖2-12所示虛線正六邊形的內切圓，其振幅為：
• 
• 即逆變器輸出的不失真最大正弦相電壓振幅為
  
• 若採用三相SPWM調製，逆變器能輸出的不失真最大正弦相電壓幅值為Udc/2。顯然SVPWM 調變模式下對直流側電壓利用率較高,它們的直流利用率之比為
  
• 即SVPWM法比SPWM法的直流電壓利用率提高了15.47%。
  
  圖2-12 SVPWM模式下電壓向量振幅邊界
• 如圖當合成電壓向量端點落在正六邊形與外接圓之間時，已發生過調製，輸出電壓將發生失真，必須採取過調製處理，這裡採用一種比例縮小演算法。定義每個磁區中先發生的向量為TNx，後來發生的向量為TNy。當Tx+Ty≤TNPWM 時，向量端點在正六邊形之內，不發生過調製；當TNx+TNy> TNPWM時，向量端點超出正六邊形，發生過調製。輸出的波形會出現嚴重的失​​真，需採取以下措施：
• 設將電壓向量端點軌跡端點拉回至正六邊形內切圓內時兩非零向量作用時間分別為TNx'，TNy'，則有比例關係：
  
  （2-39）
• 因此可用下式求得TNx'，TNy'，TN0，TN7：
  
  （2-40）

依照上述過程，就能得到每個扇區相鄰兩電壓空間向量和零電壓向量的作用時間。當U ref所在磁區與對應有效電壓向量的作用時間確定後，再根據PWM調變原理，計算出每一個相對應比較器的值，其運算關係如下

• 在I扇區時如下圖，
  
  
  （2-41）
• 同理可以推出5段時，在I扇區時如式，
  
  （2-42）
• 不同PWM比較方式，計數值會完全不同，兩者會差180度
• 
• 其他扇區以此類推，可以得到表2-5，式中Ntaon 、Ntbon 和Ntcon 分別是對應的比較器的計數器值，而不同扇區時間分配如表2-5 所示，並將這三個值寫入對應的比較暫存器就完成了整個SVPWM 的演算法。
• 表2-5 不同磁區比較器的計數值

• SVPWM 實質是一種對在三相正弦波中註入了零序分量的調變波進行規則取樣的一種變形SPWM。但SVPWM 的調變過程是在空間中實現的，而SPWM是在ABC 座標系下分相實現的；SPWM 的相電壓調變波是正弦波，而SVPWM沒有明確的相電壓調變波，是隱含的。為了揭示SVPWM 與SPWM 的內在聯繫，需求出SVPWM 在ABC 座標系上的等效調變波方程，也就是將SVPWM 的隱含調變波顯化。
• 為此，本文對其調製波函數進行了詳細的推導。由表3-2 我們知道了各扇區的向量發送順序：
• 奇數區依序為：U 0 ，U k ，U k+1 ，U 7 ，U k+1 ，U k ，U 0
• 偶數區依序為：U 0 ，U k+1 ，U k ，U 7 ，U k ，U k+1 ，U 0
• 利用空間電壓向量近似原理，可總結出下式：
• 
• 式中m 仍為SVPWM 調變係數，利用以上各式就可得到在第Ⅰ扇區的各相電壓平均值：
• 
• 同樣可以推導出其它扇區的調變波函數，其相電壓調變函數如下：
• 
  (2-44)
• 其線電壓的調變波函數為：
• 
  (2-45）

從相電壓調變波函數（2-44）來看，輸出的是不規則的分段函數，為馬鞍波形。從線電壓調變波函數（2-45）來看其輸出的則是正弦波形。

• 知道了扇區的位置，接下來就要計算先向量作用時間了。在計算時間之前，我們來討論下另外一個有趣的話題：向量怎麼走？
• 五段式的走法更為複雜，我們先討論七段式，透過七段式引出問題，然後再詳細討論五段式。
• 七段式SVPWM向量如何從起點到達終點？
• 以第一扇區為例，如下圖所示，向量要從0走到Uref，可以有兩條路徑，可以先沿著U4方向走，然後沿著U6方向走，再沿著U4方向走，最後到達Uref，如圖中紅色路徑。注意發波要對稱，不能走完了U4再走U6，那樣諧波比較大。也可以依照圖中藍色的路線，先沿著U6走，之後沿著U4，最後把U6走完。
• 
• 其實兩條路徑都可以到達羅馬，唯一的差別是零向量的插入方式不同。紅色路徑是4-6-4，因為還是為了每次只切換一個橋臂的開關，零向量的插入方式是0-4-6-7-6-4-0（7段式），或是4 -6-7-6-4（五段式）。
• 我們把其他扇區都加進來，會得到下圖這麼一個整體的結果。
• 
• 如果考慮軟體的計算方便，每次發波都先發000向量，中間插入111向量，那麼就要依照圖中紅色曲線發波，如下圖。
• 這樣第一區要先發U4，向量走到第二扇區後，不能先發U6，要先發距離000更近的向量U2，到第三扇區後，還是先發U2。總之，1（001），2（010），4（100）距離零向量（000）更近，要作為每個扇區的首發。
• 
• 當然，也可以選擇3（011），5（101），6（110）作為首發，那麼在7段式的中間需要插入的就是000向量。
• 
• 7段式SVPWM，由於在一個開關週期內，一個開關做了兩次動作，帶來的缺點是功率器件發熱量較大，但是優點是諧波含量低，發波對稱，沒有五段式選擇上的煩惱。
• 五段式SVPWM，又稱為DPWM。由於其在一個開關週期內只插入了一個零向量，因此是不連續的SVPWM。而在不同扇區內對零向量的不同選擇，導致了DPWM有許多變種，每個變種對開關管的損耗、相電壓的諧波都會造成不同的結果。
• 與七段式SVPWM類似，DPWM也有最基本的兩條路徑，如下圖所示：4-6-7-6-4或是6-4-0-4-6；
• 如果我們在六個磁區內都選擇插入000向量，那麼六個磁區內的向量分別是6-4-0-4-6，6-2-0-2-6，3-2-0- 2-3，3-1-0-1-3,5-1-0-1-5,5-4-0-4-5，如下圖藍色曲線；
• 如果我們在六個磁區內都選擇插入111向量，那麼六個磁區內的向量分別是4-6-7-6-4，2-6-7-6-2，2-3-7- 3-2，1-3-7-3-1,1-5-7-5-1,4-5-7-5-4，如下紅色曲線；這就產生了兩種DPWM。
• 
• 這時再一想，這兩種方式好像都不好，為什麼？因為在六個磁區內，所有的零向量都是000或111，也就是說每次發波中間都是只開下管或只開通上管，IGBT的散熱很不均勻。
• 那麼有沒有辦法可以解決這個問題呢？例如這個扇區插入000，下一個扇區插入111，這樣在兩個相鄰的扇區，上管IGBT和下管IGBT輪流導通，可以解決IGBT發熱不均勻的問題。
• 可以在135扇區插入111向量，在246扇區插入000向量；
• 也可以在246扇區插入111向量，在135扇區插入000向量。
• 現在DPWM有四種了。
• 
• 這種可以讓馬達在60°的角度內，只開上管或下管。那麼能不能再分的細一些，讓諧波含量更低？例如一個扇區內，一半時間插入000，另外一半時間插入111？這個想法好像打開了一扇大門，從此DPWM被玩出了花。
• 可以在第一扇區先插入000向量，再插入111向量；在第二扇區再先插入000向量，再插入111向量，其他磁區以此類推，如下圖：
• 
• 也可以在第一區先插入111向量，再插入000向量；其他磁區依次類推，如下圖：
• 
• 也可以以U4,U2,U1等基本向量的周圍60°插入000向量，在U6,U5,U3基本向量的周圍60°插入111向量，如下圖：
• 
• 也可以以U4,U2,U1等基本向量的周圍60°插入111向量，在U6,U5,U3基本向量的周圍60°插入000向量，如下圖：
• 
• 如果關注英飛凌官網路IGBT的損耗分析軟體，可以看到DPWM有六種。
• 本文提到的圖5，圖6兩種方法在實際應用上不多，因為軟體工作量太大，效果與DPWM1/3差不多。
• 其他還有一些DPWM，例如三次諧波插入法（THIPWM），平頂式SVPWM，半頻式SVPWM，FFCSVPWM，GDPWM，等等等等。
• 發波方式實在太多了，我們熟練其中常用的一兩種感覺就可以了。

• 向永磁同步馬達通入以下三相電流

  x = -pi:0.01:pi;
  u = sin(x);
  v = sin(x - 2pi/3);
  w = sin(x + 2pi/3);

• 根據永磁同步馬達轉矩方程
  • Te = -np * φf * [iu * sin(θ) + iv * sin(θ – 2pi/3) + iw * sin(θ + 2pi/3)]
• 設γ = [iu * sin(θ) + iv * sin(θ – 2pi/3) + iw * sin(θ + 2pi/3)]
• 因為np,φf為常數，轉矩與γ成比例
• 此處重點在於三相電流在各自方向的合成量γ，將三相電流依各自方向畫出，用*表示，γ用o表示，隨著時間變化，γ做圓週運動。
• 見ABC座標系下3相電流V2.GIF
• γ的幅度為相電流幅度的1.5倍
• uvw振幅隨時間變化波形如下：
  • 

• 使用Clark變換，將ABC座標系變換到αβ座標系
• 使α軸與u軸重合，β軸滯後α軸90度，得到

  Iα = 3/2 Iu;
  Iβ = 3/2 (Iu + 2*Iv)/sqrt(3);

• 其中為了使電流幅值不變，乘以係數3/2。
• 變換後的動態圖見αβ座標系下電流V2.gif
• 可以看到，因為α軸與u軸重合，αβ座標系的γ與uvw座標系中的γ順時針旋轉90度後的運動軌跡一致。
• αβ振幅隨時間變化波形如下:
  • 

• 使用PARK變換，將αβ座標系變換到dq座標系。
• park變換
• θ=0時，使d軸與α軸重合，得到

  Id = Iα cos(θ) + Iβ sin(θ);
  Iq = Iβ cos(θ) - Iα sin(θ);

• 變換後的動態圖見 dq座標系下電流V2.gif
• 可以看到，因為d軸與α軸重合，dq座標系的γ與αβ座標系中的γ運動軌跡一致。
• dq振幅隨時間變化波形如下:
  • 
• 可見，在不同的座標系下γ的運動軌跡一致，三種座標係都能反應馬達的運動狀態。
• 因為dq座標系中d軸電流q軸電流為直流量，可以使用控制直流電機的策略控制交流電機，且d軸方向為永磁同步電機勵磁方向，q軸方向為永磁同步電機轉矩方向，故向量控制中使用座標變換的方式將勵磁電流和轉矩電流解耦，以便於實現低速大轉矩或弱磁控制。

• 
• 所有的電子電路中，都會有訊號的延遲問題。訊號延遲不可能被完全消除，但可透過選用低延遲的裝置以減少影響。
• 在馬達驅動中，除了選用合適的裝置外，還需要對訊號延遲進行軟體補償。文中提及的這些延遲源的精確延遲時間，我們可以透過示波器和計算得出，在軟體上補償這些延遲，才可得出正確的電流取樣時刻。這樣在正確的時刻所收集到的資料才能作為FOC控制中重建馬達三相電流的資料來源。

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