2024-04-09 Share: 合成向量的推導以及clarke 變換係數2/3 的由來

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在定子三相電壓以及電流合成向量的計算中，許多資料和文件都是一筆帶過，只給了結果，省略了中間推導過程，很多朋友看到這裡一臉茫然。
其實過程並不複雜，計算時遵循向量合成原理，細心一點就能算出，我們以三相電流為例，Ia、Ib、Ic 為三相平衡正弦電流，幅值為Im，相互之間互差120 °:
那麼合成向量:
即：
根據歐拉公式：
代入上式：
由此可以看出，三相合成向量是一個角速度為ωt且繞中心點旋轉的向量，它的振幅是原來的3/2 倍。
上面的向量合成也就是三相靜止座標係到兩相靜止座標系的變換過程，就是我們通常說的clarke 變換。
再進一步，將向量Is寫成矩陣形式：
θ表示三相座標系下的a 軸與兩相座標系下的α 軸的夾角，通常選擇兩個軸重合，即θ = 0，那麼有：
假設變換前的電流有效值為Im ,那麼變換後為3/2 Im，對於電壓同樣適用，變換前為Um，變換後為3/2 Um，為了確保變換前後的幅值不變，即合成向量的大小和方向相等，那麼必須在變換時乘以一個係數k。很明顯，係數k=2/3。
將係數2/3代入：
即：
另外根據基爾霍夫電流定律：Ia + Ib +Ic = 0 並代入上式，可以推出等幅值clarke變換的結果：
如果是等功率變換，假設變換前的功率：
變換後為：
不難推出，此時的變換係數：