2024-04-24 Share: 克拉克(Clark) 變換中等幅值(2/3) 和等功率(sqrt(2/3)) 變換的公式推導
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這裡直接開門見山引入克拉克變換:克拉克和派克(Park) 變換通常用於三相交流馬達的磁場定向控制。克拉克變換將三相繫統(在abc 座標系中)的時域分量轉換為正交靜止座標系(αβ) 中的兩個分量。而派克變換將αβ 座標系中的兩個分量轉換為一個正交旋轉座標系(dq)。
@似鷗電氣
已經詳述了四種基本的派克和克拉克變換具有很大的借鑒意義,但其對等功率變換沒有敘述而且等功率變換下轉換係數表述有錯。
似鷗電氣:4種派克(Park)變換、克拉克(Clark)變換與基於dq軸解耦的雙閉環控制之間的關係(一)
CSDN 也有相關文章解釋等幅值變換,同時文中截圖了相關英文教材中關於等功率變換的解釋,但未加系統解釋。
Clark變換及比例係數2/3推導過程_Wolf的專欄-CSDN博客_clark變換
@上官致遠
也是主要給了等幅值變換的解釋,對等功率變換稍加提及但未展開敘述。
上官致遠:合成向量的推導以及clarke 變換係數2/3 的由來
匿名用戶在某回答中截圖了《PWM整流及其控制》書中的關於等功率克拉克變換的推導,可以說這是很詳細的了,但回答中也提出了一些疑問。
關於等功率Clark變換的理解(草稿)?
本文是基於網路前輩的這些解釋,做一個關於克拉克變換中等幅值和等功率變換中
和
的推導總結。
一、等幅值變換
對於標準三相電壓來說其在空間上互差120°,表達如下,其中
為相電壓峰值(對於三相電流的分析是一樣的)。
現在我們對三相求和可得:
然後我們根據歐拉公式展開經過比較複雜的計算就可以得到:
(其實就是三軸轉一下,轉到一起然後加起來……)
「由此可以看出,三相合成向量是一個角速度為ωt且繞中心點旋轉的向量,它的振幅是原來的3/2 倍。」(
@上官致遠
)
根據圖1左圖我們可以輕鬆看出:
寫成矩陣形式為:
其中
為等幅值轉換的係數(a 是amplitude 的意思)。 「為了確保變換前後的振幅不變,即合成向量的大小和方向相等,那麼必須要在變換時乘以一個係數k,很明顯,係數k=2/3。」(
@上官致遠
)(
)
我們得到在三相電壓等振幅變換下的轉換方程式為:
使矩陣可逆,引入零軸座標:
則:
二、等功率變換(修正)
首先接著上述的等幅值變換我們用
表示轉換矩陣,也就是說無論在等振幅變換或等功率變換下恆存在:
這裡我們根據圖1可以看出三相電壓和電流的轉換矩陣是相同的,也就是說
。
在等功率情況下,我們可以得到:
因為功率前後相等,所以
為單位矩陣,即:
這裡要注意的是
為正交矩陣,所以
。
現在我們定義等功率變換下的:
所以,
解得:
。
最後我們就可以得到等功率變換下的克拉克變換公式為:
注意:等功率變換不只是把等幅值轉換中的係數
換成了
,其主矩陣也發生了變化,這一點很多人忽略了。
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