2024-04-24 Share: 克拉克(Clark) 變換中等幅值(2/3) 和等功率(sqrt(2/3)) 變換的公式推導
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- 這裡直接開門見山引入克拉克變換：克拉克和派克(Park) 變換通常用於三相交流馬達的磁場定向控制。克拉克變換將三相繫統（在abc 座標系中）的時域分量轉換為正交靜止座標系(αβ) 中的兩個分量。而派克變換將αβ 座標系中的兩個分量轉換為一個正交旋轉座標系(dq)。
- @似鷗電氣已經詳述了四種基本的派克和克拉克變換具有很大的借鑒意義，但其對等功率變換沒有敘述而且等功率變換下轉換係數表述有錯。
- CSDN 也有相關文章解釋等幅值變換，同時文中截圖了相關英文教材中關於等功率變換的解釋，但未加系統解釋。
- @上官致遠也是主要給了等幅值變換的解釋，對等功率變換稍加提及但未展開敘述。
- 匿名用戶在某回答中截圖了《PWM整流及其控制》書中的關於等功率克拉克變換的推導，可以說這是很詳細的了，但回答中也提出了一些疑問。
- 本文是基於網路前輩的這些解釋，做一個關於克拉克變換中等幅值和等功率變換中
和
的推導總結。
一、等幅值變換
- 對於標準三相電壓來說其在空間上互差120°，表達如下，其中
為相電壓峰值（對於三相電流的分析是一樣的）。 
- 現在我們對三相求和可得：
- 然後我們根據歐拉公式展開經過比較複雜的計算就可以得到：
- (其實就是三軸轉一下，轉到一起然後加起來……)
- 「由此可以看出，三相合成向量是一個角速度為ωt且繞中心點旋轉的向量，它的振幅是原來的3/2 倍。」（@上官致遠）
- 根據圖1左圖我們可以輕鬆看出：
- 寫成矩陣形式為：
- 我們得到在三相電壓等振幅變換下的轉換方程式為：
- 使矩陣可逆，引入零軸座標：
- 則：
二、等功率變換(修正)
- 首先接著上述的等幅值變換我們用
表示轉換矩陣，也就是說無論在等振幅變換或等功率變換下恆存在： 
- 這裡我們根據圖1可以看出三相電壓和電流的轉換矩陣是相同的，也就是說
。 - 在等功率情況下，我們可以得到：
- 因為功率前後相等，所以
為單位矩陣，即： 
- 這裡要注意的是
為正交矩陣，所以
。 - 現在我們定義等功率變換下的：
- 所以，
- 解得：
。- 最後我們就可以得到等功率變換下的克拉克變換公式為：
- 注意：等功率變換不只是把等幅值轉換中的係數
換成了
，其主矩陣也發生了變化，這一點很多人忽略了。
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