三角函數公式整理｜cos、sin、tan、幾何運算｜學呀 基礎數學三角函數的定義
三角函數，是人們用來表示三角形上邊長與邊長之間關係的函數。當我們觀察一個直角三角形時，我們可以將各個函數定義作如下（adj為鄰邊；opp為對邊；hyp為斜邊）：
sin(θ)=hypopp , cos(θ)=hypadj
csc(θ)=opphyp , sec(θ)=adjhyp
tan(θ)=adjopp , cot(θ)=oppadj
利用這些定義，我們可以衍伸出一些式子，表達不同三角函數間的關係：
tan(θ)=cos(θ)sin(θ) , cot(θ)=sin(θ)cos(θ)
sec(θ)=cos(θ)1 , csc(θ)=sin(θ)1
在單位圓中，我們可以將這些函數所對應的值在圖形上表示出來，也就是：
sin(θ)=y , cos(θ)=x
而 tan(θ) 即為半徑 r 的斜率。
衍伸的公式
將 cos 與 sin 的定義進行整理，我們可以得到：
sin2θ+cos2θ=1
⇒sin2θ=(1+cosθ)(1−cosθ)
⇒cos2θ=(1+sinθ)(1−sinθ)
接著一樣很重要的是角度加減的公式：
sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ
sin(α−β)=sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ
cos(α+β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ
cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
藉由 sin 與 cos 的加減公式，我們可以得到：
tan(α+β)=1−tanα⋅tanβtanα+tanβ
tan(α−β)=1+tanα⋅tanβtanα−tanβ
若將 α 和 β 代入相同的值，我們便能得到兩倍角公式：
sin(2θ)=2⋅sinθ⋅cosθ
cos(2θ)=cos2θ−sin2θ
tan(2θ)=1−tan2θ2⋅tanθ
將上述公式代入不同符號並整理，可得半角公式：
sin(2θ)=±√21−cosθ
cos(2θ)=±√21+cosθ
tan(2θ)=±1+cosθsinθ
最後是 sin 與 cos 的加減公式：
sinα+sinβ=2⋅sin(2α+β)⋅cos(2α−β)
sinα−sinβ=2⋅sin(2α−β)⋅cos(2α+β)
cosα+cosβ=2⋅cos(2α−β)⋅cos(2α+β)
cosα−cosβ=2⋅sin(2α−β)⋅sin(2α+β)
幾何上的運用
當我們有一個三角形，邊長與角度如上圖所示時，則面積會等於一半的兩邊乘上夾角的 sin 值：
Area=21⋅a⋅b⋅sin(∠C)
三邊長與對角的關係呈：
sin∠Aa=sin∠Bb=sin∠Cc
任意一邊長與另外兩邊的關係為：
c2=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos∠C
若我們將 ∠C 以 90度 帶入，則：
let∠C=90∘
⇒cos∠C=0
⇒c2=a2+b2
即得畢氏定理。
