2024-04-08 Share: 對於Clarke & Park Transformation 的直觀理解

This article detail describes the means of the Clarke and Park transformation
研究雜記04. 對於Clarke & Park Transformation 的直觀理解

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有幸讀到這篇MIT paper “A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park”突然頓悟了，有感而發寫下這篇文章
簡單來說，這篇paper提供了兩種有趣的觀點：
- (1) 提供各種轉換的幾何詮釋
- (2) 使用笛卡爾座標描述a-b-c軸（三相）分量
本文會分成四個部分介紹
- I. 訊號表示法
- II. Paper重新詮釋下的各種轉換
- III. 有趣的例子
- IV. 快速可視化波形的方法
Reference:
- C. J. O’Rourke, M. M. Qasim, M. R. Overlin and J. L. Kirtley, “A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park,” in IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, pp. 2070–2083, Dec. 2019, doi: 10.1109/TEC.2019.2941175.

前言

希望閱讀完本文，各位都能直接看出下張圖互相轉換的結果
With conditions:
- (i)Balanced (but with P.S.)
- (ii)Unbalanced
- (iii)Balanced with 1, 5, 7 harmonics

I. 訊號表示法 (加入筆者主觀的看法)

任何時域(time-domain)或頻域(frequency)都能夠表示成向量空間的形式，即為基底(basis)的線性組合，對應的操作即是線性轉換。
在時間軸上描述一個訊號可以選擇以下basis，但此時空間(座標軸)未轉換
- 時域 basis: δ-function, δ(t-τ)
- 頻域 basis: exp. function, exp(jωt)
時域 basis
頻域 basis

(a) Phasor Representation 相量表示法

電路學常用的相量(Phasor)表示法，其實本質上是傅立葉轉換(Fourier Transformation)，即頻域上的表示，考慮一組三相訊號如下：
其Phasor表示如下，中間其實做了一次傅立葉變換，只是我們太習以為常，所以忘記這件事情，此時已經是用頻域basis（exp(jωt)）去描述這個訊號，而我們將他的component拿出來對頻率軸(ω axis)作圖，即是我們常看到的頻譜或俗稱頻域。
相量圖(Phasor diagram或Phasor plane)，其實只是我們畫出複數頻譜(amplitude與phase合再一起，用complex plane表示)，且將a, b, c三相訊號頻譜疊合後，對複數頻譜做切片，切出特定頻率ω得到的圖，因為我們皆使用單一頻率弦波(sinusoid wave)做為訊號，所以頻譜極度簡單，可以很容易做這樣的分析。對特定頻率做頻譜切片，正是為甚麼不同頻率之弦波，不能畫在同一張相量圖的原因。
相量表示下，因為轉換至頻域，基本上我們會喪失一些資訊，譬如每個時間點下的訊號大小。

(b) Cartesian Representation 直角坐標表示法

也是MIT paper中，提到的最核心概念，使用標準基底(standard basis)，將三相訊號表現在R3空間中(直角座標系或笛卡爾座標)，即一種時域的表示法。其好處是我們可以直觀的保留各點時間的資訊。
這裡的abc直角座標軸，並非三相座標軸，是完全不同的概念，可以想成是i-j-k正交軸被重新命名為a-b-c軸，在i-j-k座標軸上，以參數式繪出( Va(t), Vb(t), Vc(t) )軌跡的概念。
運算上也很方便可以套用解析幾何的各種性質，譬如我們想知道三相平衡下，此向量在空間中的軌跡圓半徑，其實這裡就可以看到Park與Clarke轉換常見的係數：
這個結果也可以很容易從頻域得到，因為根據Parseval’s relation，我們可以得到相同的結果，不論從時域做或頻域做，或其他變換做完都一樣，其暗示能量守恆(Energy conservation)，這也是等等Park與Clarke係數出現的原因。

(c) 兩種表示法的關聯性

其實兩種表示描述的都是同一個訊號，兩者中間的橋樑便是傅立葉轉換，或者傅立葉級數。線性變換，可以拿來轉換座標，其本質上就是針對基底做變換，所以他們的component(座標)會不同，時域 basis: δ-function, δ(t-τ) 與頻域 basis: exp. function, exp(jωt) 之間轉換而已。轉換後再使用不同的做圖法，即可找到有力的分析方式。
用離散傅立葉(DFT)可以比較直觀的看到這件事：

II. Paper重新詮釋下的各種轉換

簡單說明各種轉換，其實都只是基底變換(change of basis) 或座標變換(change of coordinates)，且都是旋轉變換(rotation transformation)。
其實這個章節反而滿簡單的，因為MIT paper真的提供了一個非常簡單的理解方法。
MIT paper 定義
- (1) dq0 transform: 即旋轉矩陣(rotation matrix)，單純倚靠旋轉矩陣讓Clarke轉換結果旋轉起來。
- (2) dq0 frame follows the Kundur’s definition
  - [*q軸領先d軸90度 *θ定義為參考軸(a相Phasor方向)與d軸夾角]

(a) Geometric interpretation of Clarke Transform

Clarke Transfom的幾何詮釋，基本上就是讓原本a-b-c正交軸(直角坐標軸)，去對齊三相向量(向量v_abc)在空間中的軌跡圓。這個旋轉對齊後的新的軸就是alpha, beta與zero軸。
Clarke Transfom
- 直角坐標a軸對齊θ=ωt=0度時的向量v_abc
- 直角坐標b軸對齊θ=ωt=90度時的向量v_abc
- 直角坐標c軸對齊alpha軸與beta軸向量外積(Cross product)
L2-norm(Power)一致性
- Power-invariant，對應的線性運算就是只做座標軸的旋轉，沒有縮放
- Amp.-invariant，對應的線性運算就是座標軸的旋轉，加上縮放
至於對齊的方式是讓，直角坐標a軸去對齊θ=ωt=0度時的向量v_abc；直角坐標b軸去對齊θ=ωt=90度時的向量v_abc；因為a-b-c三軸正交，c軸就會去對齊zero軸，但對齊有點麻煩，因為沒有直接的向量去對齊，除非作平面法向量對齊。所以MIT paper直接對alpha軸與beta軸向量使用外積(Cross product)，讓alpha軸與beta軸直接長出正交軸zero軸。
以下推導其實是反過來做的是讓alpha-beta軸空間角度的standard basis去對齊a-b-c軸空間的向量v_abc軌跡。
這邊可以注意的是，上面的運算中出現正規化(Normalize)運算，目的是為了保證轉換前後能量不變，也就是向量v_abc與v_αβ0的L2-norm保持一致。也就是Power-invariant的Clarke Transform。其對應的線性運算就是只做座標軸的旋轉，沒有縮放。
接下來介紹 Amp.-invariant的Clarke Transform，可以看到運算中沒有正規化(Normalize)，目的是為了保證轉換前後投影量不變，但向量v_abc與v_αβ0的L2-norm無法保持一致。也就是。其對應的線性運算就是座標軸的旋轉，加上縮放。

(b) Geometric interpretation of Park Transform

至於Park Transform的幾何詮釋也跟Clarke Transform概念一樣。不過對齊的對象不同，Clarke Transform的對齊角度是固定的θ=ωt=0度時的向量v_abc與θ=ωt=90度時的向量v_abc；Park Transform則是對齊時變量θ=ωt與θ=ωt+90度，這個旋轉對齊後的新的軸就是d, q與zero軸。MIT paper直接對d軸與q軸向量使用外積(Cross product)，讓d軸與q軸直接長出正交軸zero軸。
Park Transform
- 直角坐標a軸對齊θ=ωt的向量v_abc
- 直角坐標b軸對齊θ=ωt+90度的向量v_abc
- 直角坐標c軸對齊d軸與q軸向量外積(Cross product)
L2-norm(Power)一致性
- Power-invariant，對應的線性運算就是只做座標軸的旋轉，沒有縮放
- Amp.-invariant，對應的線性運算就是座標軸的旋轉，加上縮放
至此，其實不難看出Clarke Transform是Park Transform的一個特例。

III. 有趣的例子

(a) Zero Sequence component

其實零序成分會造成，a-b-c正交軸在空間中的軌跡不是共平面，而是在R3空間彎曲的軌跡，這也是零軸有分量的物理意義。下面例子為加入3rd諧波，但在垂直投影方向上還是會看到圓形(平衡)或橢圓形(不平衡)的軌跡。
零序成分主因根據運算定義，即為有三相共有的分量，只要相位頻率振幅相同，就會出現零序分量。可以當作相依(Phasor diagram上的平行)成份。

(b) Unbalance

根據symetric component有以下三相不平衡的分析：
基本上會產生正序(Positive Sequence)與負序(Negtive Sequence)成分，在R3空間共平面形成橢圓形軌跡。

(c) With Harmonics

可以依照下面歸納出的結果區分正負序諧波成分
至於為甚麼5th, 7th諧波會表現出6th樣子，等等再做說明

(d) 1st fundamental component at d-q frame

d-q軸上出現1倍頻，是很弔詭的事情，那基本上是三相有DC，且DC成份大小皆不同，相同成份(common mode)會出現在零軸上，DC成份的差(difference, differentail mode)就會在d-q軸上反應出現1倍頻。
以上都是屬於加法運算的分析，即各頻率疊合。

(e) 若今天a, b, c相上出現波包

其波包頻率就是d, q波形上的頻率。因為此操作基本上是屬於做調變(modulation)，其載波(carrier wave)為三相訊號。

IV. 快速可視化波形的方法 (筆者自己的推導)

最末段，筆者提供一種使用Euler formula快速推導圖形在不同座標軸下長相的方法。其實從推導的過程中也可看出，以訊號系統的角度觀察，其d-q轉換本質就是調變(modulation property)，若想看頻譜，可以從這個角度出發，可以很容易得到結果；如果想看時域波形，可以遵照以下推導結果，很容易得到答案。
為甚麼不平衡是一個橢圓軌跡，從這裡也可以看出來，因為根據symmetric component理論，不平衡系統可以拆成兩組平衡系統，不過旋轉方向相反，此時根據其進行推導，可化成橢圓參數式。
把下面的式子取real part & imagary part即可得到橢圓參數式。
精華在這裡，其實a-b-c正交軸與alpha-beta-0軸只是過一個座標軸旋轉，描述的是空間中同一個事情，d-q-0軸則是在會隨著參考角轉動的軸上看訊號，我們提出 exp(jωt) 項，即是在抽離旋轉的量。
此舉便會造成正序成分頻率-1，負序成分頻率+1的情況。
讓我們回到一開始的圖