三角函數的定義

三角函數，是人們用來表示三角形上邊長與邊長之間關係的函數。當我們觀察一個直角三角形時，我們可以將各個函數定義作如下（$adj$為鄰邊；$opp$為對邊；$hyp$為斜邊）：

$\sin(\theta) = \frac{opp}{hyp} \text{ , } \cos(\theta) = \frac{adj}{hyp}$

$\csc(\theta) = \frac{hyp}{opp} \text{ , } \sec(\theta) = \frac{hyp}{adj}$

$\tan(\theta) = \frac{opp}{adj} \text{ , } \cot(\theta) = \frac{adj}{opp}$

利用這些定義，我們可以衍伸出一些式子，表達不同三角函數間的關係：

$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \text{ , } \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$

$\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} \text{ , } \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$

在單位圓中，我們可以將這些函數所對應的值在圖形上表示出來，也就是：

$\sin(\theta) = y \text{ , } \cos(\theta) = x$

而 $\tan(\theta)$ 即為半徑 $r$ 的斜率。

衍伸的公式

將 $\cos$ 與 $\sin$ 的定義進行整理，我們可以得到：

$\sin^2 \theta + \cos^2\theta = 1$

$\Rightarrow \sin^2\theta = (1+\cos\theta)(1-\cos\theta)$

$\Rightarrow \cos^2\theta = (1+\sin\theta)(1-\sin\theta)$

接著一樣很重要的是角度加減的公式：

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta +\cos\alpha \cdot \sin\beta$

$\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta -\cos\alpha \cdot \sin\beta$

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta -\sin\alpha \cdot \sin\beta$

$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta +\sin\alpha \cdot \sin\beta$

藉由 $\sin$ 與 $\cos$ 的加減公式，我們可以得到：

$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \cdot \tan\beta}$

$\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha \cdot \tan\beta}$

若將 $\alpha$ 和 $\beta$ 代入相同的值，我們便能得到兩倍角公式：

$\sin(2\theta) = 2\cdot \sin\theta \cdot \cos\theta$

$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

$\tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

將上述公式代入不同符號並整理，可得半角公式：

$\sin(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$

$\cos(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$

$\tan(\frac{\theta}{2}) = \pm\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$

最後是 $\sin$ 與 $\cos$ 的加減公式：

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\cdot \sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cdot \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cdot \sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cdot \cos(\frac{\alpha+\beta}{2})$

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cdot \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\cdot \cos(\frac{\alpha+\beta}{2})$

$\cos\alpha - \cos\beta = 2\cdot \sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cdot \sin(\frac{\alpha+\beta}{2})$

幾何上的運用

當我們有一個三角形，邊長與角度如上圖所示時，則面積會等於一半的兩邊乘上夾角的 $\sin$ 值：

$\text{Area} =\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin(\angle C)$

三邊長與對角的關係呈：

$\frac{a}{\sin\angle A} = \frac{b}{\sin\angle B} = \frac{c}{\sin\angle C}$

任意一邊長與另外兩邊的關係為：

$c^2 = a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos\angle C$

若我們將 $\angle C$ 以 90度 帶入，則：

$let \angle C = 90^{\circ}$

$\Rightarrow \cos\angle C = 0$

$\Rightarrow c^2 = a^2 + b^2$

即得畢氏定理。