2024-05-07 Share: 簡述FOC馬達控制之SVPWM原理（上）

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01 前言

SVPWM(Space Vector Pulse Width Modulation)，即空間向量脈寬調變。 SVPWM的理論基礎是平均值等效原理，即在一個開關週期Ts內，將基本向量電壓加以組合，使其平均值與給定電壓向量相等。透過控制基本向量電壓的作用時間，使合成的目標向量電壓在空間位置以接近圓形軌跡旋轉，所產生的實際磁通量去逼近一個理想的磁通圓。模型如下圖所示，取樣點數越多，就越逼近理想磁通圓，理論上取樣點數無窮多時就是理想磁通圓了。
左圖：基本電壓向量圖；右圖：實際磁通圓軌跡示意圖
加在三相繞組線圈上的端電壓皆為正弦電壓，設峰值為Um，兩兩相位差120°，記為：
注意：這裡的電壓是標量，只是電壓振幅是依正弦變化。
在二維平面上，三相繞組ABC所構成的座標系，兩兩座標軸相差120°，則三相基本電壓以向量表示為：
用歐拉公式
展開上式，並計算其向量和
以下是展開計算的過程：
在計算過程中用到了三角函數的展開式公式：
原理總結：
透過在空間位置上兩兩相差120° 的三個基本電壓來合成目標電壓。三個基本電壓的方向不變，振幅依正弦規律變化，相位兩兩相差120° ；合成的目標向量電壓其振幅固定不變，為相電壓峰值的1.5倍，方向在空間旋轉，旋轉的角速度等於相電壓振幅變化的角速度。

02 SVPWM實作方法

2.1 基本向量電壓：

如下圖所示，逆變器的三相橋臂共有6個開關管（Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6），對於每一個半橋，同一時刻只能有一個開關管導通，即控制訊號G1和G2反相，G3和G4反相，G5和G6反相，如果同一個半橋的上下橋臂同時導通則會導致電源Udc短路。逆變器三個半橋的輸出分別加到馬達的ABC三相繞上，三相繞組在空間位置上兩兩相差120°。
定義開關函數
如S(A)=1表示Q1導通Q2截止，母線電壓Udc加到A相繞組；
再例如S(B)=1表示Q3截止Q4導通，B相繞組連接到電源負極，即GND。
ABC三個開關函數的狀態(S(A),S(B),S(C))共有8種組合，分別是{(0,0,0),(0,0,1),(0, 1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1),}，分別對應8個向量電壓，其中2個零向量電壓是和，6個非零向量電壓分別是，它們在空間位置上相鄰間隔60°，將平面等分為6個扇區。
以三相繞組的公共端N點作為參考零電位，各基本向量電壓的方向如上圖所示，在三相座標系下，這6個非零基本向量電壓的振幅為Udc，具體如下表所示。
容易想到，透過控制開關管的狀態，可以合成6個方向中任一個方向的向量電壓；透過控制該狀態下開關管的PWM佔空比，可以改變該方向的向量電壓的振幅的有效值（佔空比從0到100%對應向量電壓有效值從0到Udc）。例如要合成一個方向和U4相同，幅值為Udc/2的向量電壓，只需要控制G1的佔空比為50%，G3，G5的佔空比為0%即可；再例如要合成一個方向和U6相同，振幅為3Udc/4的向量電壓，只需要控制G1,G3的佔空比為75%，G5的佔空比為0%即可。
在三相座標系下，6個基本向量電壓的振幅都為Udc，轉換到αβ兩相座標系下，基本向量電壓的振幅為2*Udc/3（為什麼2/3倍這個問題困擾了我好久才弄清楚了，下面簡單說明一下）。
以基本向量電壓U1為例，U1（001）在abc三相座標系下的振幅為Udc，他由合成。經過clarke變換，得到在αβ兩相座標系下的電壓，合成在兩相座標系下的基本向量電壓U1的振幅為，方向不變。因為我們判斷扇區和PID計算的輸出目標向量電壓都是在兩相座標系下進行的，故計算SVPWM也是在兩相座標系下進行。
下面的介紹都是在兩相座標系下的，注意！
經過上面的步驟，已經能合成6個方向，幅值為的基本向量電壓了。接下來我們用這6個基本的向量電壓，合成一個任意方向0-360°，任意幅值0~Umax的向量電壓，也就是我們最終的目標向量電壓，下面計算Umax的值。
容易知道，透過這6個基本向量電壓，能夠合成的最大旋轉圓形目標電壓，其振幅為正六邊形的內切圓的半徑，即。
回顧數學知識：在一個平面內，兩個不共線的非零向量可以作為一個基底，兩個基底的線性組合可以合成該平面內任意方向和任意大小的第三個向量。（不懂沒關係，看下面就夠了）
容易想到，任一個目標電壓向量，可以由該向量所在磁區的相鄰兩個基本向量電壓合成。例如扇區I的任意向量電壓Us都可以由相鄰的U4和U6兩個基本向量電壓合成。
這裡的Us就是座標變換裡的Uq和Ud的向量和，（PS：在馬達控制應用中，Uq由q軸電流環PI控制器計算輸出得到，同時d軸電流環還會計算輸出得到一個Ud， Ud滯後Uq90°）
然後回到座標變換去了，另一篇文章有詳細講解[另一篇文章的連結]，這裡只簡單說明結果。
先是park逆變換，由期望輸出的Uq，Ud和當前的空間位置即角度θ[在電機控制裡面這裡是指電角度，並不是旋轉平面的角度(後面講電角度、電機極對數和旋轉角度的關係)]，透過park逆變換計算Uα,Uβ。
得到Uα,Uβ後，接著就是判斷所在扇區

2.2 扇區判斷：

目標向量電壓Uref就是PI控制器計算的輸出Uq,Ud的向量和，經過Park逆變換得到Uα和Uβ，空間向量調製的第一步，就是由Uα和Uβ判斷目標空間向量電壓所處的扇區。
由以上向量圖幾何關係分析可以得到，所在扇區和需要滿足的充分必要條件清單：
可以看出，決定扇區的基本變數有：
其中線性無關的只有三個（也可以取其他三個線性無關的）：
則（A,B,C）有8種狀態000，001，……………… ，111
其中（A,B,C）=(000)和(111)不存在，另外6個狀態對應6個扇區，下面做簡單分析。
(A,B,C) =000時：
- 即U1<0,U2<0,U3<0，
- 即Uβ<0,由式2式3疊加得-Uβ<0,Uβ>0，和式1衝突，故此狀態不存在。
（A,B,C）=001時：
- 即U1<0,U2<0,U3>0，
- 即Uβ<0，故電角度θ滿足：180<θ<360;
- 在Uβ<0的條件下，對Uα>0（270360）和Uα<0（180270）時分情況討論，並結合式2式3，即：
（A,B,C）=010時：
- 即U1<0,U2>0,U3<0，
- 即Uβ<0，故電角度θ滿足：180<θ<360;
- 在Uβ<0的條件下，對Uα>0（270360）和Uα<0（180270）時分情況討論，並結合式2式3，即：
（A,B,C）=011時：
- 即U1<0,U2>0,U3>0，
- 即Uβ<0，故電角度θ滿足：180<θ<360;
- 在Uβ<0的條件下，對Uα>0（270360）和Uα<0（180270）時分情況討論，並結合式2式3，即：
（A,B,C）=100時：
- 即U1>0,U2<0,U3<0，
- 即Uβ>0，故電角度θ滿足：0<θ<180;
- 在Uβ>0的條件下，對Uα>0（090）和Uα<0（90180）時分情況討論，並結合式2式3，即：
（A,B,C）=101時：
- 即U1>0,U2<0,U3>0，
- 即Uβ>0，故電角度θ滿足：0<θ<180;
- 在Uβ>0的條件下，對Uα>0（090）和Uα<0（90180）時分情況討論，並結合式2式3，即：
（A,B,C）=110時：
- 即U1>0,U2>0,U3<0，
- 即Uβ>0，故電角度θ滿足：0<θ<180;
- 在Uβ>0的條件下，對Uα>0（090）和Uα<0（90180）時分情況討論，並結合式2式3，即：
(A,B,C) =111時：
- 即U1>0,U2>0,U3>0，
- 即Uβ>0,由式2式3疊加得-Uβ>0,Uβ<0，和式1衝突，故此狀態不存在。
- 綜上，可以列出（A,B,C）的值和所對應的扇區關係如下表;