https://carlyleliu.github.io/2020/foc%E5%8E%9F%E7%90%86/

將左手的食指，中指和拇指伸直，使其在空間內相互垂直。食指方向代表磁場的方向（從N級到S級），中指代表電流的方向（從正極到負極），而拇指所指的方向就是受力的方向。可用來判斷安培力（運動導體所受到的力）和洛倫茲力（運動電荷所受的力）。

伸開右手，使拇指與其餘四個手指垂直，並且都與手掌在同一平面內；讓磁感線垂直於手心進入，並使拇指指向導線運動方向，這時四指所指的方向就是感應電流的方向。用於判斷導體在做切割磁場時所產生的電流方向。

電直導線中的安培定則（安培定則一）：用右手握住通電直導線，讓大拇指指向直導線中電流方向，那麼四指指向就是通電導線周圍磁場的方向； 通電螺線管中的安培定則（安培定則二）：用右手握住通電螺線管，讓四指指向電流的方向，那麼大拇指所指的那一端是通電螺線管的N極。

安培力：以電流強度為I的長度為L的直導線，置於磁感應強度為B的均勻外磁場中，則導線受到的安培力的大小為$$F=IBLsin\alpha$$

式中α為導線中的電流方向與B方向之間的夾角. 設定兩條細直、無限長、固定的、相互平行的載流導線，則在自由空間內，任一條導線施加於對方的每單位長度作用力$f_m$是：

$$f_m=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi r}$$

其中，${\mu }_0$是真空磁導率，$I_1,I_2$分別是流動於兩條導線的電流，r是兩條導線之間的垂直距離。採用國際單位制，${\mu }_0$值定義為$${\mu }_0=4\pi \times {10}^{-7}$$

長直載流導線周圍的磁感應強度大小與距離成反比、與電流成正比。

$$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idlsin\theta }{r^2}$$

真空磁導率：

$${\mu }_0=4\pi \times {10}^{-7}N\cdot A^{-2}$$

載流直導線、圓形載流導線、載流密繞直螺線管的磁場都是經由此公式求取。具體細節可參考畢奧─薩伐爾定律在通電螺線管中產生的磁場強度是正比與導線中的電流和導線匝數的。

在電動力學裡，若考慮一帶電粒子在電磁場中的受力，可以用以下的勞崙茲力定律來表示：

$$F=q(E+v\times B)$$

這裡F是洛倫茲力，q是帶電粒子的電荷量，E是電場，v是帶電粒子的速度，B是磁場。這方程式右邊有兩項，第一項是電場力$F_E=qE$，第二項是磁場力$F_B=qv\times B$。

若電樞導體的有效長度為l，導體切割氣隙磁場的線速度為v，則每根導體中的感應電動勢$e_c$為

$$e_c=b_{\sigma }lv$$

式中$b_{\sigma }$為導體所在位置的氣隙磁通量密度。 ，若電樞繞組的總導體數為$Z_a$每條支路串聯導體數等於$\frac{Z_a}{2a}$則支路電動勢$E_a$為:

$$E_a=\sum _1^{\frac{Z_a}{2a}}{b}_{\delta }lv=lv\sum _1^{\frac{Z_a}{2a}}{b}_{\delta }(x_i)$$

式中各點氣隙磁通量密度$b_{\delta }(x_i)$互不相同，所以每根導體的電動勢也不相同，為簡單記，引入平均氣隙磁通密度$B_{av}$，記：

$$B_{av}\approx \frac{1}{\frac{Z_a}{2a}}\sum _1^{\frac{Z_a}{2a}}{b}_{\delta }(x_i)$$

則$E_a$可以寫為：

$$E_a=lv\frac{Z_a}{2a}{B}_{av}$$

考慮到線速度$v=2p\tau \frac{n}{60}$,其中$\tau$為極距，$2$為電樞週長將v代入可以得到：

$$E_a=2\frac{pn}{60}\frac{Z_a}{2a}(B_{av}\tau l)=\frac{p{Z}_a}{60a}n\mathrm{\Phi }=C_{e}n\mathrm{\Phi }$$

式中$\mathrm{\Phi }$表示每極的總磁通量，他等於一個極下的平均氣隙磁通密度$B_{a}v$乘以一個極的面積$l\tau$即$=B_{av}l$,$C_e$稱為電動勢常數，$C_e=\frac{p{Z}_a}{60a}$.這就是電樞繞組的電動勢方程式。對發電機和電動機都適用.

設導體中電流為$i_a$導體所在位置的氣隙磁通量密度為$b_{\delta }$, 則作用在該導體上的電磁轉矩$T_c$為：

$$T_c=b_{\delta }l{i}_a\frac{D_a}{2}$$

$D_a$為電樞外徑，由於一個極下載流導體數為$\frac{Z_a}{2p}$，所以作用在一個極下載流導體上的合成電磁轉矩$T_p$應為：

$$T_p=l{i}_a\frac{D_a}{2}\sum _1^{\frac{Z_a}{2p}}{b}_{\delta }(x_i)=(\frac{Z_a}{2p}{B}_{av})l{i}_a\frac{D_a}{2}$$

式中$B_{av}$為氣隙磁通密度平均值，作用在整個電樞上的電磁轉矩$T_e$應為$T_p$乘以2p即：

$$T_e=2p{T}_p=Z_a{B}_{av}l{i}_a\frac{D_a}{2}$$

考慮到$\pi D_a=2p\tau ,\mathrm{\Phi }=B_{av}l\tau$支路電流$i_a=\frac{I_a}{2a}$,其中$I_a$為電樞電流，可得：

$$T_e=Z_a{B}_{av}l(\frac{I_a}{2a})\frac{p\tau }{\pi }=\frac{p}{2\pi }\frac{Z_a}{a}\mathrm{\Phi }{I}_a=C_T\mathrm{\Phi }{I}_a$$

式中$C_T$為轉矩常數，這就是直流馬達的轉矩公式。對發電機和電動機都適用。

這裡先將FOC控制框圖列出，在下面將會一個模組一個模組當介紹。

在上圖中clark變換是將$I_a{I}_b{I}_c$三相電流變為$I_{\alpha }{I}_{\beta }$兩項電流，在實際的使用中需要對三相電流進行採集以獲得實際電機中的電流，但是三相電流呈120度相位差分佈並不夠直觀而且有信息冗餘，根據基爾霍夫定律，三相電流向量和應該為0，因此可以使用兩項進行表示，我們對直角座標系很熟悉，因此這裡將三相電流轉化為直角系的兩項座標系的過程就是clark變換，詳細變換如下：

$$\begin{array}{rl}& I_{\alpha }=I_a-cos(\frac{\pi }{3})I_b-cos(\frac{2\pi }{3})I_c\\ & I_{\beta }=sin(\frac{\pi }{3})I_b-sin(\frac{\pi }{3})I_c\end{array}$$

寫成矩陣形式如下:

$$\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_a\\ I_b\\ I_c\end{array}\right]$$

但到這裡還沒完，我們在實際使用過程中使用的公司並不是這個而是有一個係數k來調整為等幅變換或等功率變換，實際使用的公式如下：

$$\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]=k\ast \left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_a\\ I_b\\ I_c\end{array}\right]$$

在等幅值變換中$k=\frac{2}{3}$具體推導如下：

以相電壓來作為推導而非相電流,設$V_m$是相電壓峰值，則

$$\begin{array}{rl}& U_a=V_m\ast cos(\theta )\\ & U_b=V_m\ast cos(\theta -\frac{2\pi }{3})\\ & U_c=V_m\ast cos(\theta +\frac{2\pi }{3})\\ & U_a+U_b+U_c=0\end{array}$$

這裡$\theta =2\pi ft$將這三相電壓合成空間電壓向量$U_t$為

$$U_t=U_a+U_b\ast e^{\frac{2\pi j}{3}}+U_c\ast e^{\frac{4\pi j}{3}}=\frac{3}{2}{V}_m\ast e^{j\theta }$$

由此可以看出合成的電壓向量是原來的$\frac{3}{2}$,但是為什麼會多出來？ ？ ？因此當$k=\frac{2}{3}$時合成向量將與變換前一致，就是等幅值轉換，將$k=\frac{2}{3}$代入先前公式並化簡可以得到

$$\begin{array}{rl}& U_{\alpha }=U_a\\ & U_{\beta }=\frac{1}{\sqrt{3}}(U_a+2U_b)\end{array}$$

另一種變換是等功率變換，當$k=\sqrt{\frac{2}{3}}$為等功率變換，詳細推導過程可參考Clark變換及比例係數2/3推導過程

dq座標係是建立在轉子上的直角座標系，其中d 軸方向與轉子磁鏈方向重合，又叫直軸； q 軸方向與轉子磁鏈方向垂直，又叫交軸； d軸與𝑞軸q軸如下圖所示；

相對與定子來說是旋轉的座標系，在dq座標系下$i_d{i}_q$為恆定值而不再是正弦值。 park變換的本質是靜止座標系αβ乘以一個旋轉矩陣，從而得到dq座標系:

$$\begin{array}{rl}& i_d=i_{\alpha }\ast cos(\theta )+i_{\beta }\ast sin(\theta )\\ & i_q=-i_{\alpha }\ast sin(\theta )+i_{\beta }\ast cos(\theta )\end{array}$$

寫成矩陣式為：

$$\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& sin(\theta )\\ -sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]$$

透過park變換後將交流訊號轉變為直流訊號，這樣就方便進行訊號調節，像使用pid控制器對馬達訊號進行控制

Park反變換又叫直交變換，由dq軸的直流量，最終變換到αβ的交流量，其公式如下：

$$\begin{array}{rl}& i_{\alpha }=i_d\ast cos(\theta )-i_q\ast sin(\theta )\\ & i_{\alpha }=i_d\ast sin(\theta )+i_q\ast cos(\theta )\end{array}$$

寫成矩陣形式如下：

$$\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& -sin(\theta )\\ sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]$$

因為svpwm使用的座標系還是αβ座標系，在經過park變換後進行調控例如使用pid控制器對其中的參數進行調控後需要再經過反park變換回去輸入到svpwn模組中去。

這裡需要注意park變換是需要電角度資訊的，因此這裡涉及無感和有感兩種foc，由於本人也沒有研究過無感foc因此這裡只講下有感foc。所謂有感就是有感測器，透過感測器獲得馬達轉子的位置，感測器種類很多有光電式和霍爾感測器式，按照獲取角度類型可以分為絕對式編碼器和相對式編碼器，但無論哪種感測器最終都是獲得電機轉子的位置，然後在park變換的時候用於將$\alpha \beta$座標系轉換到dq座標系下。這裡以常見的霍爾感測器為例來說明一下，霍爾感測器又分為線性霍爾感測器和開關型霍爾感測器，線性霍爾感測器可以獲得更精細的角度信息，例如ti的DRV5055,這種感測器如果想要獲得較好的性能一般使用兩個感測器呈90度角度排列，這種感測器使用前需要進行校準，對磁場的最大值和最小值進行校準更精確的校準是對其進行尺度因子的校準這個一般不需要；另一種是開關型霍爾感測器一般使用3個感測器彼此之間呈現60度或120度排布。除此之外還有一種整合式感測器，透過iic或spi介面數位輸出角度訊息，例如as5600，tle5012b等，這種使用起來更加簡單，不需要對感測器進行校準只需要對電角度和機械角度進行校準即可。下面以drv5055這種線性霍爾感測器為例說明一下使用注意事項： drv5055線性霍爾感測器輸出的是類比訊號，可以偵測磁場強弱訊號，在馬達的轉子上需要安裝一個徑向衝磁的圓形或圓環型磁鐵，然後兩個drv5055呈90度分佈在磁鐵的外環位置，當馬達轉轉一周感測器將經歷完整的從N極到S極的磁場訊號，輸出為一個週期的正弦曲線，兩個感測器輸出如下：

SVPWM 是近年來發展的一種比較新穎的控制方法，是由三相功率逆變器的六個功率開關元件組成的特定開關模式產生的脈寬調製波，能夠使輸出電流波形盡可能接近於理想的正弦波形。空間電壓向量PWM 與傳統的正弦PWM 不同，它是從三相輸出電壓的整體效果出發，著眼於如何使馬達獲得理想圓形磁鏈軌跡。 SVPWM 技術與SPWM 相比較，繞組電流波形的諧波成分小，使得馬達轉矩脈動降低，旋轉磁場更逼近圓形，而且使直流母線電壓的利用率有了很大提高，且更易於實現數位化。以下將對此演算法進行詳細分析闡述。

SVPWM 的理論基礎是平均值等效原理，即在一個開關週期內透過對基本電壓向量加以組合，使其平均值與給定電壓向量相等。在某個時刻，電壓向量旋轉到某個區域中，可由組成這個區域的兩個相鄰的非零向量和零向量在時間上的不同組合來得到。兩個向量的作用時間在一個採樣週期內分多次施加，從而控制各個電壓向量的作用時間，使電壓空間向量接近按圓軌跡旋轉，透過逆變器的不同開關狀態所產生的實際磁通去逼近理想磁通圓，並由兩者的比較結果來決定逆變器的開關狀態，從而形成PWM 波形。由於逆變器三相橋臂共有6 個開關管，為了研究各相上下橋臂不同開關組合時逆變器輸出的空間電壓向量，特定義開關函數Sx ( x = a、b、c) 為：

$$S_x=\{\begin{array}{c}1(\mathrm{上}\mathrm{桥}\mathrm{臂}\mathrm{导}\mathrm{通})\\ 0(\mathrm{下}\mathrm{桥}\mathrm{臂}\mathrm{导}\mathrm{通})\end{array}$$

(Sa、Sb、Sc)的全部可能組合共有八個，包括6 個非零向量Ul(001)、U2(010)、U3(011)、U4(100)、U5(101)、U6(110) 、和兩個零向量U0(000)、U7(111)，以下以其中一種開關組合為例分析，假設Sx ( x= a、b、c)= (100)， 此時

$$\begin{array}{rl}& U_{ab}=U_{dc},U_{bc}=0,U_{ca}=-U_{dc}\\ & U_{aN}-U_{bN}=U_{dc},U_{aN}-U_{cN}=U_{dc}\\ & U_{aN}+U_{bN}+U_{cN}=0\end{array}$$

求解上述方程式可得：

$$\begin{array}{rl}& U_{aN}=\frac{2U_d}{3}\\ & U_{bN}=-\frac{U_d}{3}\\ & U_{cN}=-\frac{U_d}{3}\end{array}$$

同理可計算出其它各種組合下的空間電壓向量，列表如下：

其中非零向量的幅值相同（模長為$\frac{2U_{dc}}{3}$），相鄰的向量間隔60°，而兩個零向量振幅為零，位於中心。在每一個磁區，選擇相鄰的兩個電壓向量以及零向量，並依照伏秒平衡的原則來合成每個磁區內的任意電壓向量，即：

$${\int }_0^T{U}_{ref}dt={\int }_0^{T_x}{U}_{x}dt+{\int }_{T_x}^{T_x+T_y}{U}_{y}dt+{\int }_{T_x+T_y}^T{U}_{0}dt$$

等效與下式：

$$U_{ref}\ast T=U_x\ast T_x+U_y\ast T_y+U_0\ast T_0$$

其中，$U_{ref}$為期望電壓向量；T 為取樣週期；$T_x、T_y、T_0$、$T_x、T_y、T_0$、$T_x、T_y、T_0$分別為對應兩個非零電壓向量$U_x、U_y$、$U_x、U_y$和零電壓向量$U_0$在一個採樣週期的作用時間；其中$U_0$包括了$U_0$和$U_7$兩個零向量。上式的意義是，向量$U_{ref}$在T 時間內所產生的積分效果值和$U_x、U_y、U_0$、$U_x、U_y、U_0$、$U_x、U_y、U_0$分別在時間$T_x、T_y、T_0$、$T_x、T_y、T_0$、$T_x、T_y、T_0$內產生的積分效果相加總和值相同。由於三相正弦波電壓在電壓空間向量中合成一個等效的旋轉電壓，其旋轉速度是輸入電源角頻率，等效旋轉電壓的軌跡將是如上圖所示的圓形。所以要產生三相正弦波電壓，可以利用以上電壓向量合成的技術，在電壓空間向量上，將設定的電壓向量由U4(100)位置開始，每次增加一個小增量，每一個小增量設定電壓向量可以用該區中相鄰的兩個基本非零向量與零電壓向量予以合成，如此得到的設定電壓向量就等效於一個在電壓空間向量平面上平滑旋轉的電壓空間向量，從而達到電壓空間向量脈寬調製的目的。

三相電壓給定所合成的電壓向量旋轉角速度為ω=2πf，旋轉一週所需的時間為T =1/f ；若載波頻率為fs，頻率比為R = fs / f。這樣將電壓旋轉平面等切割成R個小增量，也就是設定電壓向量每次增量的角度是：

$$\gamma =\frac{2}{R}=\frac{2\pi f}{fs}=\frac{2Ts}{T}$$

假設欲合成的電壓向量$U_{ref}$在第Ⅰ區中第一個增量的位置，如下圖所示，欲用U4、U6、U0及U7合成，用平均值等效可得：$U_{r}ef\ast Tz=U4\ast T4+U6\ast T6$。

在兩相靜止參考座標系（α，β）中，令$U_{ref}$和U4間的夾角是θ，由正弦定理可得：

$$\begin{gathered} \left|U_{ref}\right|cos(\theta )=\frac{T_4}{T_s}\left|U_4\right|+\frac{T_6}{T_s}\left|U_6\right|cos(\frac{\pi }{3}) \\ \left|U_{ref}\right|sin(\theta )=\frac{T_6}{T_s}\left|U_6\right|sin(\frac{\pi }{3}) \end{gathered}$$

因為|U4 |=|U6|=2Udc/3 ，所以可以得到各向量的狀態保持時間為：

$$\begin{array}{rl}& T_4=m{T}_{s}sin(\frac{\pi }{3}-\theta )\\ & T_6=m{T}_{s}sin(\theta )\end{array}$$

式中m為SVPWM調變係數（調變比），$m=\frac{\sqrt{3}\left|U_{ref}\right|}{U_{dc}}$。而零電壓向量所分配的時間為：T7=T0=(TS-T4-T6 ) /2 或T7 =(TS-T4-T6 ) 得到以U4、U6、U7 及U0 合成的Uref 的時間後，接下來就是如何產生實際的脈寬調變波形。在SVPWM 調變方案中，零向量的選擇是最具靈活性的，適當選擇零向量，可最大限度地減少開關次數，盡可能避免在負載電流較大的時刻的開關動作，最大限度地減少開關損耗。

我們以減少開關次數為目標，將基本向量作用順序的分配原則選定為：在每次開關狀態轉換時，只改變其中一相的開關狀態。並且對零向量在時間上進行了平均分配，以使產生的PWM 對稱，從而有效地降低PWM 的諧波分量。當U4(100)切換至U0(000)時，只​​要改變A 相上下一對切換開關，若由U4(100)切換至U7(111)則需改變B、C 相上下兩對切換開關，增加了一倍的切換損失。因此要改變電壓向量U4(100)、U2(010)、 U1(001)的大小，需配合零電壓向量U0(000)，而要改變U6(110)、U3(011)、U5(100)，需配合零電壓向量U7(111)。這樣透過在不同區間內安排不同的開關切換順序， 就可以獲得對稱的輸出波形，其它各扇區的開關切換順序如下表所示：

現的先後順序為U0、U4、U6、U7、U6、U4、U0，各電壓向量的三相波形則與上表的開關表示符號相對應。再下一個TS 時段，Uref 的角度增加一個γ，利用式上式可以重新計算新的T0、T4、T6 及T7 值；這樣每一個載波週期Ts就會合成一個新的向量，隨著θ的逐漸增大，$U_{r}ef$將依序進入Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ區。在電壓向量旋轉一周期後，就會產生R個合成向量。

合成向量

空間向量調變的第一步是判斷由Uα和Uβ決定的空間電壓向量所處的磁區。假定合成的電壓向量落在第I扇區，可知其等價條件如下：0º<arctan(Uβ/Uα)<60 º 以上等價條件再結合向量圖幾何關係分析，可以判斷出合成電壓向量$U_{r}ef$落在第X扇區的充分必要條件,得出下表：

若進一步分析以上的條件，有可見參考電壓向量$U_{r}ef$所在的扇區完全由$U_{\beta },\sqrt{3}{U}_{\alpha }-U_{\beta },-\sqrt{3}{U}_{\alpha }-U_{\beta }$三式決定，因此令：

$$\begin{array}{rl}& U_1=U_{\beta }\\ & U_2=\sqrt{3}{U}_{\alpha }-U_{\beta }\\ & U_3=-\sqrt{3}{U}_{\alpha }-U_{\beta }\end{array}$$

再定義，若U1>0 ，則A=1，否則A=0； 若U 2>0 ，則B=1，否則B=0；若U3>0 ，則C=1，否則C=0。可以看出A，B，C 之間共有八種組合，但由判斷扇區的公式可知A，B，C 不會同時為1 或同時為0，所以實際的組合是六種，A，B， C 組合取不同的值對應著不同的扇區，並且是一一對應的，因此完全可以由A，B，C 的組合判斷所在的扇區。為區別六種狀態，令N=4 C+2 B+A，則可透過下表計算參考電壓向量Uref 所在的磁區。

採用上述方法，只需經過簡單的加減及邏輯運算即可確定所在的扇區，對於提高系統的響應速度和進行模擬都是很有意義的。

在傳統SVPWM演算法中用到了空間角度及三角函數，使得直接計算基本電壓向量作用時間變得十分困難。實際上只要充分利用Uα 和Uβ 就可以讓計算大為簡化。以Uref 處在第Ⅰ扇區時進行分析有：

$$\left[\begin{array}{c}{U}_{\alpha }\\ U_{\beta }\end{array}\right]=U_{ref}\left[\begin{array}{c}cos(\theta )\\ sin(\theta )\end{array}\right]T_s=\frac{2}{3}{U}_{dc}(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]T_4+\left[\begin{array}{c}cos(\frac{\pi }{3})\\ sin(\frac{\pi }{3})\end{array}\right]T_6)$$

經過整理後得出：

$$\begin{array}{rl}& T_4=\frac{2U_{\alpha }T}{2U_{dc}}-\frac{1}{2}{T}_6=\frac{2U_{\alpha }{T}_s}{2U_{dc}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{U_{\beta }{T}_s}{U_{dc}}=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}{U}_2\\ & T_6=\frac{\sqrt{3}{U}_{\beta }{T}_s}{U_{dc}}=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}{U}_1\\ & T_7=T_0=\frac{T_s-T_4-T_6}{2}\end{array}$$

同理可求得$U_{r}ef$在其它扇區中各向量的作用時間，結果如下表所示。由此可依前式中的U1 、U 2 、U3判斷合成向量所在扇區，然後查表得出兩非零向量的作用時間， 最後得出三相PWM波佔空比，下表可以使SVPWM演算法編程簡易實現。

將I扇區的時間圖畫出來如下：

SVPWM 實質是一種對在三相正弦波中註入了零序分量的調變波進行規則取樣的一種變形SPWM。但SVPWM的調變過程是在空間中實現的，而SPWM是在ABC座標系下分相實現的；SPWM的相電壓調變波是正弦波，而SVPWM沒有明確的相電壓調變波，是隱含的。為了揭示SVPWM與SPWM的內在聯繫，需求出SVPWM在ABC座標系上的等效調變波方程，也就是將SVPWM的隱含調變波顯化。我們知道了各扇區的向量發送順序： 奇數區依序為：U 0 ，U k ，U k+1 ，U 7 ，U k+1 ，U k ，U 0 偶數區依序為：U 0 ，U k +1 ，U k ，U 7 ，U k ，U k+1 ，U 0 利用空間電壓向量近似原理，可總結下式：

$$\left[\begin{array}{c}{T}_k\\ t_{k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}sin(\frac{k\pi }{3})& -cos(\frac{k\pi }{3})\\ sin(\frac{(k-1)\pi }{3})& -cos(\frac{(k-1)\pi }{3})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}cos(\theta )\\ sin(\theta )\end{array}\right]$$

式中m 仍為SVPWM 調變係數，利用以上各式就可得到在第Ⅰ扇區的各相電壓平均值：

$$\begin{array}{rl}& U_a(\theta )=\frac{U_{dc}}{T_s}(-\frac{T_0}{2}+\frac{T_4}{2}+\frac{T_6}{2}+\frac{T_7}{2}+\frac{T_7}{2}+\frac{T_6}{2}+\frac{T_4}{2}-\frac{T_0}{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}\left|U_{ref}\right|cos(\theta -\frac{\pi }{6})\\ & U_b(\theta )=\frac{U_{dc}}{T_s}(-\frac{T_0}{2}+\frac{T_4}{2}+\frac{T_6}{2}+\frac{T_7}{2}+\frac{T_7}{2}+\frac{T_6}{2}+\frac{T_4}{2}-\frac{T_0}{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}\left|U_{ref}\right|sin(\theta -\frac{\pi }{6})\\ & U_c(\theta )=\frac{U_{dc}}{T_s}(-\frac{T_0}{2}+\frac{T_4}{2}+\frac{T_6}{2}+\frac{T_7}{2}+\frac{T_7}{2}+\frac{T_6}{2}+\frac{T_4}{2}-\frac{T_0}{2})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left|U_{ref}\right|cos(\theta -\frac{\pi }{6})\end{array}$$

同樣可以推導出其它扇區的調變波函數，其相電壓調變函數如下：

$$\begin{gathered} U_a(\theta )=\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{2}\left|U_{ref}\right|cos(\theta -\frac{\pi }{6})---(0⩽\theta <\frac{\pi }{3},\pi ⩽\theta <\frac{4\pi }{3})\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\left|U_{ref}\right|cos(\theta )---(\frac{\pi }{3}⩽\theta <\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}⩽\theta <\frac{5\pi }{3})\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\left|U_{ref}\right|cos(\theta +\frac{\pi }{6})---(\frac{2\pi }{3}⩽\theta <\pi ,\frac{5\pi }{3}⩽\theta <2\pi )\end{array} \\ {U}_b(\theta )=U_a(\theta -\frac{2\pi }{3}) \\ {U}_c(\theta )=U_a(\theta -\frac{4\pi }{3}) \end{gathered}$$

其線電壓的調變波函數為：

$$\begin{array}{rl}& U_{ab}(\theta )=U_a(\theta )-U_b(\theta )=\sqrt{3}\left|U_{ref}\right|sin(\theta +\frac{\pi }{3})\\ & U_{bc}(\theta )=U_{ab}(\theta -\frac{2\pi }{3})\\ & U_{ca}(\theta )=U_a(\theta -\frac{4\pi }{3})\end{array}$$

從相電壓調變波函數來看，輸出的是不規則的分段函數，為馬鞍波形。當調變波為正弦波時為spwm，調變波為在理想正弦波基礎上加入三次諧波注入就是svpwm。比單純正弦調變波輸出的SPWM，SVPWM的優點： - 諧波最佳化程度高，轉矩脈動小； - 透過共模分量注入，等效基波增大，電壓利用率提高；

對於一個完整當FOC控制器是需要電流取樣的，只有在有電流取樣的情況下才可以進行clark變換，而在實際的使用過程中有時我們並不需要進行電流閉環控制，可以採用開環控制演算法，那麼在沒有電流回授的情況下該如何進行開環控制呢？這裡可以將clark變換和park變換省略掉，直接對dq軸變數進行調控，然後直接進行反park變換回去，再經過svpwm模組輸出最終的訊號給到馬達。這裡的開環控制跟有感還是無感是沒有關係的，這裡讓然可以採用有感的開環控制，只是這裡就沒有辦法做電流閉環控制，只能做力矩，速度和位置閉環控制。

回到一開始的FOC控制總體框圖，整個FOC流程是透過電流取樣獲得三相電流值，對三相電流值進行clark轉換到$\alpha \beta$座標系下（兩相直角座標系），再經過park變換，變換到轉子的dq座標系下，到這裡交流訊號已經轉變為直流訊號，然後對這個直流訊號進行調節，一般採用pid控制器進行調節，可以進行力矩，速度和位置閉環調節，將調節後對dq坐標軸數據再經過反park變換再經過svpwm運算後輸出pwm信號到電機，這就是完整對foc控制算法。

二相導通星形三相六狀態無刷直流永磁電動機工作原理

Clark變換與Park變換

如何深入理解SVPWM？

三相對稱電流透過向dq座標軸上投影得到的Id、Iq與透過park變換得到的Id、Iq有什麼不同、連結麼？

深入淺出講解FOC演算法與SVPWM技術

永磁同步馬達(PMSM)的FOC閉迴路控制詳解

克拉克(Clark) 變換中等幅值(2/3) 和等功率(sqrt(2/3)) 變換的公式推導

SVPWM 技術

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